Sterbetafel

1. Begriff: Instrument zur vollständigen statistischen Beschreibung der Mortalität einer Bevölkerung bzw. einer Versichertenpopulation. Auf der Grundlage von beobachteten Sterbefällen wird die Entwicklung einer konstruierten (Sterbetafel‑)Bevölkerung in ihrem gesamten Lebenszyklus dargestellt und veranschaulicht. Darüber hinaus lassen sich Aussagen über die Sterbeverhältnisse in den verschiedenen Altersgruppen treffen. Eine Sterbetafel liefert verschiedene aus Beobachtungen abgeleitete und interpretierbare Parameter zur Beschreibung der Mortalität.

2. Aufbau: Die wichtigste Variable bei der Erstellung einer Sterbetafel ist die Sterbewahrscheinlichkeit q(x). Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine Person im Alter x vor Erreichen des Alters x+1 stirbt. Die Sterbewahrscheinlichkeit wird üblicherweise durch die Anzahl der Sterbefälle im Alter x dividiert durch die Zahl der Personen, die das Alter x erreicht haben, ermittelt. (Hinweis: Die Sterbewahrscheinlichkeiten sind von den altersspezifischen Sterberaten zu unterscheiden, bei denen die Sterbefälle nicht auf den Ausgangsbestand, sondern auf die durchschnittliche Bevölkerungszahl einer Altersgruppe bezogen werden.) Aus den Werten für q(x) lassen sich als komplementäre Größen unmittelbar die Überlebenswahrscheinlichkeiten p(x) ableiten. Es gilt: p(x) = 1 - q(x). Die eigentliche Sterbetafelfunktion l(x) gibt die Anzahl der Personen an, die ausgehend von einem Anfangsbestand l(0) (Radix) das Alter x vollendet haben. Zu beachten ist, dass es sich bei den Werten von l(x) nicht um tatsächlich beobachtete Individuen handelt. Der folgende Ausschnitt aus einer Sterbetafel soll den Aufbau verdeutlichen:

Ausschnitt aus der Sterbetafel 2009/11 für Deutschland, Männer
Alter	Sterbe- wahrscheinlichkeit vom Alter x bis x+1	Überlebende Personen im Alter x	Von den Personen im Alter x durchlebte Jahre	Lebenserwartung im Alter x
X	q(x)	l(x)	L(x)	e(x)
0	0,00309225	100.000	99.736	76,64
1	0,00034026	99.691	99.674	75,88
2	0,00016778	99.657	99.648	74,90
3	0,00018333	99.640	99.631	73,91
4	0,00015912	99.622	99.614	72,93
...	...	...	...	...
95	0,29293659	3.776	3.223	2,52
96	0,31422507	2.670	2.250	2,35
97	0,33592089	1.831	1.523	2,20
98	0,35795515	1.216	998	2,07
99	0,38025966	781	632	1,94
100	0,40276721	484	386	1,82
Tab.: Ausschnitt aus der Sterbetafel 2009/11 für Deutschland, Männer, Quelle: Statistisches Bundesamt, Bevölkerung und Erwerbstätigkeit, Sterbetafel Deutschland 2009/11, Wiesbaden 2013.

Ausgehend von l(0) = 100.000 lassen sich die weiteren Werte wie folgt berechnen:
l(1) = 100.000 * p(0) = 100.000 * (1-(q(0)) = 100 000 * 0.99691 = 99.691,
l(2) = 99.691 * p(1) = 99.691 * (1-(q(1)) = 99.961 * 0,99966 = 99.657, usw.
Allgemein dargestellt ergibt sich: l(x) = l(x-1) * p(x-1). Aus dieser auch als „Absterbeordnung“ bezeichneten Reihe der l(x)-Werte kann schließlich die durchschnittliche Lebenserwartung in den einzelnen Altersstufen abgeleitet werden. Hierfür wird zunächst der Parameter L(x) bestimmt, der die von der Sterbetafelbevölkerung im Alter x durchlebten Jahre wiedergibt. Dabei wird die Verteilung der Sterbefälle über das ganze Jahr berücksichtigt. Die Aufsummierung dieser L(x)-Werte ergibt alle von der Sterbetafelbevölkerung durchlebten Personenjahre. Wird der aufsummierte Wert durch den Ausgangswert von 100.000 dividiert, ergibt sich die Lebenserwartung bei der Geburt, bezeichnet als e(0). Entsprechend kann die durchschnittliche (oder auch „fernere“) Lebenserwartung im Alter x berechnet werden.

3. Arten: Es existieren zwei grundsätzliche Arten von Sterbetafeln. Zum einen gibt es die Periodentafel (Querschnittstafel), die von den beobachteten altersspezifischen Mortalitätsverhältnissen eines bestimmten Beobachtungszeitraums ausgeht, zu denen 100 oder mehr verschiedene, im Beobachtungszeitraum noch lebende Geburtenjahrgänge beitragen. Der auf diese Weise dargestellte Lebensverlauf einer Geburtskohorte ist jedoch rein hypothetisch und spiegelt allein das im Beobachtungszeitraum vorherrschende Sterblichkeitsgeschehen wider. Zum anderen gibt es die Generationentafel (Kohortentafel), die auf den Mortalitätsverhältnissen eines einzigen Geburtsjahrgangs beruht, dessen tatsächliche Sterblichkeitsentwicklung im Längsschnitt beobachtet wird. Hierfür bedarf es allerdings der Daten über einen Zeitraum von rund 100 Kalenderjahren.

4. Anwendungen in der Versicherungspraxis: Sterbetafeln sind (die) wesentliche(n) Grundlagen für die Prämienkalkulation in Versicherungszweigen der Personenversicherung, in denen das Erleben bestimmter Zeitpunkt oder das Todesfallrisiko maßgeblich (Erlebensfallversicherung, Risikolebensversicherung) oder relevant (z.B. private Krankenversicherung, kurz: PKV) für die Versicherungsdeckung sind. Hierzu beziehen sich die zugrundeliegende Daten jedoch i.d.R. nicht auf die Gesamtbevölkerung, sondern auf eine Versichertenpopulation. Wegen einer geringen Datenbasis über Personen höheren Alters werden oft nicht die tatsächlich beobachteten Sterbehäufigkeiten verwendet, sondern geglättete Werte. Sterbetafeln für die Prämienkalkulation in der Lebensversicherung und in der PKV sind darüber hinaus mit Sicherheitsmargen versehen.

Autor(en): Dr. Achim Regenauer