Gesetz der großen Zahlen

1. Begriff: In seiner mathematischen Variante ist das Gesetz der großen Zahlen eine fundamentale Gesetzmäßigkeit der Wahrscheinlichkeitstheorie, nach der für eine Folge von Zufallsvariablen {X_j}_{j ∈ N} mit E [X_j] = μ für alle j ∈ N (Erwartungswert) unter bestimmten Voraussetzungen und in einem zu präzisierenden Sinn die Folge der Stichprobenmittel

 bei wachsendem Stichprobenumfang  gegen den Erwartungswert  konvergiert. Ist bspw. die Folge der Zufallsvariablen paarweise unabhängig (Unabhängigkeit) mit beschränkten Varianzen, so gilt formal 

für n → ∞. (starkes Gesetz der großen Zahlen). Das Gesetz der großen Zahlen begründet die Schätzung des Erwartungswerts durch das Stichprobenmittel. In seiner empirischen Variante bringt das Gesetz der großen Zahlen die Erfahrungstatsache zum Ausdruck, dass bei einer Vergrößerung der Anzahl der Beobachtungen im Rahmen einer (homogenen) statistischen Grundgesamtheit die zugrunde liegende Zufallsgesetzmäßigkeit deutlicher zutage tritt.

2. Anwendungen: Zentrale Anwendungen findet das Gesetz der großen Zahlen zunächst in der Statistik (und damit auch in der versicherungswirtschaftlichen Risikostatistik) im Rahmen der Schätzung von Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswerten sowie höheren Momenten durch ihre Stichprobengegenstücke, d.h. der relativen Häufigkeit, dem Stichprobenmittelwert und den Stichprobenmomenten. Auch im Rahmen des versicherungswirtschaftlichen Risikoausgleichs findet das Gesetz der großen Zahlen seine Anwendung. In der Literatur wird das Gesetz der großen Zahlen teilweise als Synonym für den Risikoausgleich im Kollektiv verwendet und als Wesensmerkmal von Versicherungsvorgängen gesehen.

Autor(en): Prof. Dr. Peter Albrecht