Rekursionsformel

1. Begriff: Eine Folge R(n) für natürliche Zahlen n heißt rekursiv definiert, wenn es eine Konstante R(0) und eine Funktion f gibt, so dass R(n) = f((R(0);...;R(n-1);0,...n). f wird dann als Rekursionsformel bezeichnet.

2. Merkmale: Da R(n) nur vom Startwert R(0) sowie von den R(i) für i < n abhängt, können sukzessive R(1), R(2), R(3) usw. berechnet werden.

3. Ausprägungen: In der Versicherungsmathematik wird sehr oft die zeitliche Entwicklung bestimmter Größen durch Rekursionsformeln dargestellt. Bspw. lässt sich das Ansparen einer festen Sparprämie S über einen Zeitraum von n Jahren mit einem für das Jahr t festgelegten Zins von i durch folgende Rekursionsformel für das Guthaben G(t) darstellen: G(0) =0; G(t) = (G(t-1)+S)*(1+i).

4. Ziele: Rekursionsformeln sind gut geeignet, Entwicklungsprozesse bestimmter Größen übersichtlich darzustellen.

5. Probleme: Die Auflösung von Rekursionsformeln führt in der Lebensversicherungsmathematik häufig zu recht langen Iterationsketten. Bspw. wird zur Ermittlung des Werts der Optionen und Garantien eines Lebensversicherungsbestands oft die monatliche Fortschreibung der HGB-Bilanz für jeweils 100 Jahre benötigt; dann ergeben sich jeweils 1.200 Iterationsschritte, und dies für z.B. 1.000 exemplarische Verträge und ca. 10.000 Kapitalmarktszenarien, so dass oft die Grenzen der numerischen Handhabbarkeit erreicht werden.

Autor(en): Norbert Heinen